Exo TD 11.10

Bonsoir, je ne vois pas comment dans la question 3) affirmer que
lim (Ak)² = (lim Ak)² , (je pensais à la continuité du produit matriciel ?..)
De plus la justification de lim Ak = lim A2k est-elle:  "par unicité de la limite" ?
Merci pour votre réponse.

Bonsoir Léonard, on a traité cet exercice en classe, mais s'il le faut, je peux en rédiger un corrigé !
La réponse à ta première question : les fameux théorèmes opératoires (la limite du produit est le produit des limites).
A la deuxième question : (A^{2k}) est une SOUS-SUITE de la suite convergente (A^k), donc elle converge vers la même limite.
JJM

D'accord c'est compris. L'année dernière nous n'avions vu ce théorème que pour les suites de R, et dans le cours de cette année dans le paragraphe "opérations algébriques" nous n'avons pas étendu ce théorème aux suites de E (alors qu'on en a étendu 6 autres) , c'est pourquoi je me demandais si il y avait des conditions particulières sur ce théorème.. Merci beaucoup.

Tu as tout à fait raison Léonard, puisque les théorèmes opératoires ne concernent, a priori, que les suites à valeurs scalaires, ce qui n'est pas le cas des suites matricielles. En toute rigueur, il faudrait invoquer la continuité de l'application M --> M*M qui est la composée de l'application linéaire M --> (M,M) et de l'application bilinéaire (M,N) --> M*N en dimension finie. Mais je pense, que dans ce cas "simple", on peut shunter tout cela !